| che cosa si intende per valore atteso di una variabile aleatoria? | è un indice di centralità o disposizione della variabile aleatoria
si ottiene moltiplicando ciascun valore per la sua probabilità |
| che cosa si intende per insieme universo? | L’insieme universo Ω non è altro che l’insieme degli esiti possibili,
ovvero lo spazio degli eventi. |
| quale è la differenza fra evento ed evento elementare? | Evento: Un evento è qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario. In altre parole, è un insieme di possibili risultati di un esperimento.
Evento elementare: Un evento elementare è un evento che non può essere scomposto in eventi più piccoli. È un punto dello spazio campionario.
in un lancio di un dato evento elementare sarebbe "esce 6" un evento potrebbe essere "esce un numero pari" |
| quali sono gli assiomi di kolmogorov? | 1) ogni evento dell'algebra deve avere un grado di probabilità
2) omega è l'insieme su cui viene costruita l'algebra
3) avendo una generica successione di eventi dell'algebra(scelti a due a due disgiunti), la probabilità dell'unione degli eventi sarà uguale alla sommatoria delle probabilità |
| come viene definito uno spazio delle probabilità? | viene definito con:
- omega spazio degli eventi
- un'algebra associata
- una funzione di probabilità |
| cosa sono gli spazi equiprobabili?
nel caso in cui lo spazio degli eventi sia illimitato? | è uno spazio di probabilità in cui tutti gli eventi elementari hanno uguale probabilità.
- lo spazio non può essere illimitato poichè si violerebbe il terzo assioma di kolmogorov (la somma delle probabilità deve essere = 1) |
| dimostra il seguente teorema | passo per passo |
| dimostra il teorema sulla probabilità dell'unione di due eventi | passo per passo |
| dimostra il seguente teorema | passo per passo |
| a che cosa serve la probabilità condizionata ?
come si calcola? | serve a calcolare la probabilità di un evento tenendo conto del fatto che un altro evento si è già verificato.
legenda
E = evento condizionato
F = evento condizionante |
| che cosa afferma la regola di fattorizzazione delle probabilità condizionata? | afferma che la probabilità congiunta di due eventi A e B può essere scomposta come il prodotto della probabilità di A dato B e della probabilità di B |
| per che cosa viene utilizzato il teorema delle probabilità totali? | viene utilizzato quando per esprimere la probabilità di un evento è più facile esprimerla in funzione di qualche altro evento
vale sotto l'ipotesi che:
la probabilità di F != 0
la probabilità di F(complemento) != 0 |
| il teorema delle probabilità totali generalizzato | vale sotto le ipotesi:
- le probabilità di ogni partizione di Fi deve essere != 0
- gli Fi devono essere partizioni di omega |
| che cosa afferma il teorema di bayes? | ipotesi:
- f1...fn partizioni di omega
- la probabilità di ogni f(i) != 0
- considerato l'evento E appartenente all'algebra |
| quando si verifica l'evendo unione di E, F?
quando si verifica l'evento intersezione di questi? | l'evento EUF si verifiica se e solo se almeno uno degli eventi di E o F si verifica.
l'intersezione si verifica se e solo se entrambi gli eventi E ed F si verificano. |
| quando due eventi si dicono mutualmente esclusivi? | Due eventi si dicono mutualmente esclusivi, o incompatibili, quando non possono verificarsi contemporaneamente.
In altre parole, se al verificarsi di uno, l'altro o non può verificarsi. |
| quali sono le proprietà delle operazioni sugli gli insiemi? | - Commutativa: E ∩ F = F ∩ E e E ∪ F = F ∪ E
- Associativa: (E ∩ F) ∩ G = E ∩ (F ∩ G)
- Distributiva: E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G)
- Leggi di De Morgan: comp(E ∩ F) = comp(E) ∪ comp(F) anche con l'intersezione |
| come viene definita l'algebra degli eventi? | l'algebra degli eventi è quell'insieme determinato da una collezione di eventi appartenenti ad omega.
più formalmente è determinato da assiomi di Kolmogorov: |
| come si calcola la probabilità di un generico evento nel caso di spazio equiprobabile? | quando sono all'interno di uno spazio equiprobabile, la probabilità di un generico evento si ottiene dividendo la cardinalità di questo per il numero totale di esiti |
| che cosa si intende per funzione di ripartizione? | è uno strumento con lo scopo di utilizzare le variabili aleatorie in modo coerente
Fx : R -> [0,1] (funzione di ripartizione di x)
Fx(y) sta a simboleggiare la probabilità che x <= y per ogni y reale |
| che cosa si intende per variabile aleatoria? | Una variabile aleatoria è definita in uno spazio di probabilità.
E' una variabile che può assumere diversi esiti con determinate probabilità.
Un buon candidato per variabile aleatoria è la somma del lancio di due dadi, ha uno spazio degli eventi (1-36) e una algebra che assegna ad ogni evento una probabilità |
| che cosa è la funzione indicatrice? | è una funzione che associa a un sottoinsieme di un insieme universale un valore binario (0 o 1). In altre parole, la funzione indicatrice ci dice se un elemento appartiene o meno a un certo sottoinsieme. |
| cosa significa X ~ F ? | significa che la variabile aleatoria X è distribuita secondo la funzione di ripartizione F e questo significa conoscere molto della variabile aleatoria, come si vuole dimostrare prendendo l'elemento b... |
| che cosa è la funzione di massa di probabilità ? | viene utilizzato con variabili aleatorie DISCRETE e descrive la probabilità dell'evento che si verifica quando la variabile aleatoria assume il valore y
F : R -> [0,1]
pari a: Mx(y) = P(x = y) |
| quali sono le caratteristiche peculiari della funzione di ripartizione? | - è sempre maggiore di 0
- il valore massimo che assume è 1
- è continua solo da destra |
| che cosa si intende per valore atteso di una variabile aleatoria? | E' un indice di centralità o disposizione della variabile aleatoria.
Si ottiene moltiplicando ciascun valore per la sua probabilità.
Non cè nessuna conferma che il valore atteso di una variabile aleatoria converga |
| cosa rappresenta la varianza di una variabile aleatoria? | la varianza di X indica quanto questa si discosta dal suo valore atteso |
| come viene definita la funzione di ripartizione congiunta?
cosa succede se uno dei due valori tende ad infinito? | data una coppia di variabili aleatorie E, F,viene definita come l'intersezione di due eventi portando uno dei due a inf. diventa la funzione di ripartizione dell'altro |
| come viene definita la funzione di massa congiunta? | ci dice la probabilità che due variabili assumano contemporaneamente determinati valori.
- se anche uno dei suoi valori non corrisponde allora risulta 0 |
| come viene definita la funzione di ripartizione congiunta?
cosa succede se una delle due variabili tende ad infinito? | descrive la probabilità che due variabili aleatorie assumano valori inferiori o uguali a due valori specificati |
| dimostra che presi due eventi indipendenti, la funzione di ripartizione congiunta dei due sia uguale al prodotto delle singole funzioni di ripartizione | si basa sulla definizione di variabili aleatorie indipendenti:X e Y sono indipendenti se e solo se P(X∈A, Y∈B) = P(X ∈ A) x P(X∈B) se vale per la funzione di ripartizione allora vale anche per la funzione di massa, perciò dimostrando entrambi i versi: |
| come si generalizzano le funzioni di ripartizione congiunte e le funzioni di massa congiunte per n variabili? | SE LE VARIABILI SONO INDIPENDENTI FRA DI LORO: |
| Cosa succede quando calcolo il valore atteso di una funzione di variabili aleatorie?
nel caso si trattasse di una funzione che tratta più variabili ? | se x è una variabile aleatoria allora lo sarà anche g(x) perciò il valore atteso sarà pari a quello di x calcolato nel punto g(x) nel caso di una funzione con più variabili, non cambia molto: |
| come è definita la covarianza di due variabili aleatorie?
quali sono le sue proprietò | definita come : Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y))) rispetta le proprietà di: - simmetria |
| a cosa equivale il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie? | dimostrato con il teorema che :
E( X Y ) = E(X) * E(Y) |
| come si calcola il coefficiente di correlazione?
come mai lo si preferisce rispetto alla covarianza con le variabili aleatorie? | nel caso si volesse misurare la covarianza del doppio di due variabili Cov(2X, 2Y), la covarianza intuitivamente dovrebbe rimanere invariata(perchè è la forza che correla) invece questa risulta uguale a 4 Cov(X,Y) per la proprietà.per questo si utilizza il coefficiente di correlazione che non soffre di dilatazioni per quanto riguarda la scalatura: |
| che cosa è la funzione di densità? | fornisce l'informazione equivalente a : quanto è probabile che la v.a. assuma valore compreso in un intervallo? esempio di utilizzo: |
| perchè quando si parla di variabili aleatorie continue non ha senso parlare di un singolo evento? | perchè matematicamente parlando si tratterebbe di trovare la seguente probabilità:P(X = a) = P(a <= X <= a)applicando la definizione di probabilità di variabile aleatoria (l'integrale): quindi la probabilità sarebbe sempre nulla di solito si tende a calcolare in un intorno di a |
| quale è la proprietà che deve sempre rispettare una funzione per essere una funzione di densità? | ogni volta che una funzione ha R come dominio e R+ come codominio e integra a 1, allora deve esistere una variabile aleatoria continua che abbia quella funzione come densità (L14 1h05min) |
| che cosa stabilisce la disuguaglianza di Markov? | VALIDA SOLO SE : X >= 0, ∀a > 0 dimostrazione per variabili continue: |
| che cosa stabilisce la disuguaglianza di Tchebjev? | se di una v.a. conosco il suo valore atteso e la varianza,
la probabilità che la distanza fra x e la media sia maggiore di un parametro r è : |
| che cosa mostra la funzione di ripartizione empirica?
quale è il grafo migliore per rappresentarla? | rappresenta le frequenze cumulate, il grafo migliore per rappresentarla è un grafico a scalini con statsmodel ECDF |
| dimostrare che :
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ) | . |
| Un aereo `e scomparso e si suppone che possa essere caduto in una qualsiasi di tre regioni, con uguale probabilità. Per i = 1, 2, 3, siano αi le costanti che rappresentano la probabilità di non rinvenire il velivolo nella regione i-esima e 1 − αi la probabilità di rintracciare un velivolo che cada nella regione i-esima. Qual `e la probabilità che l’aereo si trovi in ciascuna delle tre regioni se una ricerca della regione 1 ha dato esito negativo? | Denotiamo con Ri l’evento ”il velivolo si trova nella regione i-esima” e sia E l’evento ”la ricerca nella regione 1 non ha successo”, dunque |
| dati tre eventi A B e C definisci la funzione indicatrice tale che sia 1 ogni qual volta due di questi eventi abbia esito positivo | sol: |
| calcolare il valore atteso di un dado a 6 facce | sol: |
| Un’urna contiene 3 palline contrassegnate dai numeri {1,2,3}. Si estrae con riposizione un campione di ampiezza 2. Sia Y la variabile casuale che esprime la media aritmetica dei numeri riportati sulle palline estratte. Calcolare il valore atteso di Y . | esempio 5 p 40.
sol: 2 |
| dimostrare che il valore atteso della somma di due variabili è uguale alla somma dei valori attesi | dimostrazione: |
| a cosa equivale : V ar(X + Y )?
e in generale a cosa equivale la varianza di una sommatoria? | considerazione 4.14.1: in generale: |
| data la v.a. definita da: quanto vale c? Quanto vale P(X > 1) | 1) 2) |
| variabile aleatoria X che rappresenta il numero di pezzi prodotti in una settimana, con un E(X) = 50, Var(X) = 25.
quale è la probabilità che il numero di pezzi prodotti sia compreso fra 40 e 60? | p53 es 1 |
| dato E(X) = lambda
Var(X) = lambda
Y = aX - b
quanto equivale :
E(Y)
Var(Y) | bisogna sapere le proprietà: |
