| che cosa afferma il teorema centrale del limite? | afferma che la distribuzione di medie campionarie di un numero sufficientemente grande di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) tende ad assumere una forma di distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione originaria delle singole variabili. |
| come viene rappresentata la popolazione in statistica inferenziale? | come una variabile aleatoria X ∼ F(θ) di supporto Dx |
| che cosa rappresenta una statistica o uno stimatore?
quali tipi di statistica esistono? | Una statistica o stimatore, non è altro che una funzione t : Dxn → R dove presi n valori del campione produce una stima T = t(X1, . . . , Xn). Ovvero un algoritmo che applico, il cui input è il mio campione e l’output è la stima di qualcosa che non conosco. Così la mia statistica mi permette di conoscere F.
può essere di due tipi:
- statistica parametrica : F è parzialmente sconosciuta (non si conoscono alcuni parametri) e si assume che i valori siano generati da una particolare famiglia di distribuzioni
- statistica non parametrica : F è completamente sconosciuta e non si fanno ipotesi sulla forma specifica della distribuzione sottostante |
| che cosa si intende per distorsione in uno stimatore? | La distorsione di uno stimatore, detta anche bias, è la differenza tra il valore atteso dello stimatore e il vero valore del parametro che si vuole stimare. In altre parole, la distorsione indica quanto uno stimatore tende a sovrastimare o sottostimare il parametro in media |
| che cosa è il mean square error? | è una metrica che viene utilizzata per determinare |
| come viene definito il Bias?
come posso riscrivere la definizione di errore quadratico medio data la def. di bias?
e se lo stimatore non è deviato? | il bias viene descritto con la formula: quindi (dimostrazione 7.4) posso riscrivere MSE: e se lo stimatore non è deviato il bias = 0: |
| quando uno stimatore si dice consistente in media quadratica?
quando invece si dice debolmente consistente? | consistente in media quadratica -> il suo errore quadratico medio (MSE) tende a zero al crescere della dimensione del campione
debolmente consistente -> la sua distribuzione di probabilità converge alla distribuzione di probabilità del parametro che si vuole stimare al crescere della dimensione del campione |
| cosa afferma la legge dei grandi numeri? | in forma forte: all'aumentare di elementi del campione(n), la media campionaria si avvicina al valore atteso della popolazione in forma debole: la probabilità che la media si discosti dal valore atteso per al piu di ε tende a 0 all'aumentare di n |
| che cosa è τˆ? | τ(θ) indica la quantità da stimare.
quindi si può affermare che:
τˆ è una approssimazione di τ(θ)
poichè possono esisterne di più con variabili che hanno valori diversi |
| quando posso dire che uno stimatore non è deviato? | uno stimatore non è deviato o non deviato per definizione ma lo risulta in confronto ai dati che vengono analizzati,
lo stimatore t si dice non deviato di τ(θ) se E(t(X1,...,Xn)) = τ(θ)
da ciò ne consegue che il bias = 0 |
| che relazione intercorre fra lo scarto quadrtico medio MSE e il corrispettivo stimatore sia non deviato per la quantità da stimare? | l'MSE è interpretabile come la varianza di t, come spiegato nella seguente |
| dimostrare che :
se T è consistente in media quadratica per τ(θ),
allora T è debolmente consistente per τ(θ) | si questa proprietà è dimostrabile |
| in quale modo la stima dell'errore coinvolge il TCL? | 7.7 il teorema centrale del limite viene impiegato nella seguente formula per il calcolo della probabilità che l'errore sia minore di r in particolare nel passaggio: |
| Cos’è uno stimatore? | è una regola o funzione che ci permette di stimare un parametro incognito della distribuzione di una popolazione basandosi su un campione estratto da essa |
| trovare uno stimatore per una variabile binomiale Bin(n, p) per T(p) = p | 7.2.2 sapendo che il valore atteso della media è n x p e che il valore atteso della media è uguale al E(x).. posso portare a destra il parametro n che grazie alla proprietà di linearità quindi è uno stimatore non deviato |
| Definisco con X ∼ E(λ) il numero di minuti attesi in coda, dare uno stimatore per il tempo medio di attesa | il tempo medio di attesa è il valore atteso di X ovvero 1/λ = τ(λ)si usa la media campionaria che è proprio τ(λ) ! |
| se lo stimatore non è deviato a cosa equivale il MSE? | data la definizione di bias posso ridefinire il MSE come: |
| dimostra che se T è consistente in media quadratica per τ(θ), allora T è debolmente consistente per τ(θ) | 7.5.1 dimostrazione:
partendo dalla consistenza debole, controllo che succedo assumendo la consistenza quadratica.
la tendenza a 1 dimostra la consistenza debole ! |
| Ipotizzo una popolazione X ∼ B(p) e voglio conoscere il parametro θ = p, dunque τ(θ) = τ(p) = p. Siamo in possesso di un campione X1, X2, X3 e lo vogliamo usare nello stimatore t(X1, X2, X3) = (X1 + X2 + X3) /5.
lo stimatore è corretto per p?
(non deviato, bias, mse) | 7.5.2 soluzione: è distorto l'MSE: |
| variabile aleatoria X ~ U (0, θ), dare uno stimatore | 7.5.3 nel primo caso la media non risulta non deviato molto meglio utilizzare 2(media) |
| Ipotizzo X ∼ N(μ,σ) e immagino di avere un campione X1,X2. Mi piacerebbe conoscere σ, dunque θ = σ, τ(θ) = τ(σ) = σ2 (stimare in maniera non distorta la deviazione standard non mi `e facile dunque provo a stimare la varianza). Sono in possesso dello stimatore T = (X1)^2 − X1X2, `e buono? | 7.5.4 soluzione: calcolando il valore atteso si ottiene proprio la varianza! |
| quale è la differenza fra bias e MSE? | Bias: quanto uno stimatore tende a sovrastimare o sottostimare (in media) il parametro
MSE: quanto le stime sono disperse attorno al valore del parametro |
