| Věta o významu 2. derivace pro průběh funkce | Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f''(x) > 0, resp. f''(x) < 0 ve vnitřních bodech x ∈ J, pak funkce f je konvexní (resp. konkávní) v intervalu J. |
| Věta o významu 1. derivace pro průběh funkce | Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f'(x) > 0, resp. f'(x) < 0 ve vnitřních bodech x ∈ J, pak funkce f je rostoucí (resp. klesající) v intervalu J. |
| Lokální a absolutní extrém | Pokud množina M je jen okolí bodu C, hovoříme o tzv. lokálních extrémech funkce. Když M = D(f), má funkce v bodě absolutní extrém. |
| Nutná podmínka pro lokální extrém | Má-li funkce f ve vnitřním bodě c ∈ D(f) lokální extrém, pak f'(c) = 0 nebo f'(c) neexistuje. |
| Postačující podmínka pro lokální extrém | Nechť c je vnitřní bod D(f), ve kterém f'(c)=0. Jestliže f''(c)>0 (resp. f''(c)<0) pak funkce f má v bodě c lokální minimum (resp. lokální maximum). |
| Průběh funkce | Zjišťujeme: |
| Co zjišťujeme u průběhu funkce? | Zjišťujeme:
-Definiční obor
-spojitost v D(f)
-sudost, lichost, periodičnost
-nulové body funkce a intervaly, ve které je kladná, popř. záporná
-intervaly, ve kterých je funkce rostoucí, resp. klesající a lokální extrém
-intervaly, ve kterých je funkce konvexní/konkávní a inflexní body.
-limity v krajních bodech D(f) |
| L'Hospitalovo pravidlo | Jestliže limita podílu dvou funkcí je 0/0 nebo ∞/∞, pak se rovná podílu derivací funkcí, pokud limita na pravé straně vztahu existuje. |
| Věta o vztahu derivace a spojitosti funkce | Má-li funkce f v bodě c derivaci, pak je v bodě c spojitá. |
| Derivace funkce v bodě | Nechť funkce f je definována v okolí bodu c. Číslo f'(c), definované vztahem
f'(c) = lim h->0+ ((c+h)-f(c))/h se nazývá derivace funkce f v bodě c. |
| Geometrická interpretace derivace | Derivace funkce f v bodě c je rovna směrnici tečny grafu funkce f v bodě (c,f(c)), tedy f'(c) = tg α, kde α je úhel, který svírá tato tečna s kladnou poloosou x.
Neformálně:
Derivaci funkce lze definovat jako změnu – růst či pokles – obrazu této funkce, a to za předpokladu možnosti nekonečně malých změn. Pokud funkce například popisuje rychlost pohybu nějakého tělesa, derivace této funkce bude udávat zrychlení pohybu v určitém bodě. Derivace funkce je zároveň sklonem funkce v daném bodě. Na grafu ji lze proto zobrazit jako tečnu funkce v daném bodě. |
