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level: teoria della probabilità

Questions and Answers List

level questions: teoria della probabilità

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che cosa si intende per valore atteso di una variabile aleatoria?è un indice di centralità o disposizione della variabile aleatoria si ottiene moltiplicando ciascun valore per la sua probabilità
che cosa si intende per insieme universo?L’insieme universo Ω non è altro che l’insieme degli esiti possibili, ovvero lo spazio degli eventi.
quale è la differenza fra evento ed evento elementare?Evento: Un evento è qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario. In altre parole, è un insieme di possibili risultati di un esperimento. Evento elementare: Un evento elementare è un evento che non può essere scomposto in eventi più piccoli. È un punto dello spazio campionario. in un lancio di un dato evento elementare sarebbe "esce 6" un evento potrebbe essere "esce un numero pari"
quali sono gli assiomi di kolmogorov?1) ogni evento dell'algebra deve avere un grado di probabilità 2) omega è l'insieme su cui viene costruita l'algebra 3) avendo una generica successione di eventi dell'algebra(scelti a due a due disgiunti), la probabilità dell'unione degli eventi sarà uguale alla sommatoria delle probabilità
come viene definito uno spazio delle probabilità?viene definito con: - omega spazio degli eventi - un'algebra associata - una funzione di probabilità
cosa è uno spazio equiprobabile? nel caso in cui lo spazio degli eventi sia illimitato?è uno spazio di probabilità in cui tutti gli eventi elementari hanno uguale probabilità. - lo spazio non può essere illimitato poichè si violerebbe il terzo assioma di kolmogorov (la somma delle probabilità deve essere = 1)
dimostra il seguente teoremapasso per passo
dimostra il teorema sulla probabilità dell'unione di due eventipasso per passo
dimostra il seguente teoremapasso per passo
a che cosa serve la probabilità condizionata ? come si calcola?serve a calcolare la probabilità di un evento tenendo conto del fatto che un altro evento si è già verificato. legenda E = evento condizionato F = evento condizionante
che cosa afferma la regola di fattorizzazione delle probabilità condizionata?afferma che la probabilità congiunta di due eventi A e B può essere scomposta come il prodotto della probabilità di A dato B e della probabilità di B
per che cosa viene utilizzato il teorema delle probabilità totali?viene utilizzato quando per esprimere la probabilità di un evento è più facile esprimerla in funzione di qualche altro evento vale sotto l'ipotesi che: la probabilità di F != 0 la probabilità di F(complemento) != 0
il teorema delle probabilità totali generalizzatovale sotto le ipotesi: - le probabilità di ogni partizione di Fi deve essere != 0 - gli Fi devono essere partizioni di omega
che cosa afferma il teorema di bayes?ipotesi: - f1...fn partizioni di omega - la probabilità di ogni f(i) != 0 - considerato l'evento E appartenente all'algebra
quando si verifica l'evendo unione di E, F? quando si verifica l'evento intersezione di questi?l'evento EUF si verifiica se e solo se almeno uno degli eventi di E o F si verifica. l'intersezione si verifica se e solo se entrambi gli eventi E ed F si verificano.
quando due eventi si dicono mutualmente esclusivi?Due eventi si dicono mutualmente esclusivi, o incompatibili, quando non possono verificarsi contemporaneamente. In altre parole, se al verificarsi di uno, l'altro o non può verificarsi.
quali sono le proprietà delle operazioni sugli gli insiemi?- Commutativa: E ∩ F = F ∩ E e E ∪ F = F ∪ E - Associativa: (E ∩ F) ∩ G = E ∩ (F ∩ G) - Distributiva: E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G) - Leggi di De Morgan: comp(E ∩ F) = comp(E) ∪ comp(F) anche con l'intersezione
come viene definita l'algebra degli eventi?l'algebra degli eventi è quell'insieme determinato da una collezione di eventi appartenenti ad omega. più formalmente è determinato da assiomi di Kolmogorov:
come si calcola la probabilità di un generico evento nel caso di spazio equiprobabile?quando sono all'interno di uno spazio equiprobabile, la probabilità di un generico evento si ottiene dividendo la cardinalità di questo per il numero totale di esiti
che cosa si intende per funzione di ripartizione?è uno strumento con lo scopo di utilizzare le variabili aleatorie in modo coerente Fx : R -> [0,1] (funzione di ripartizione di x) Fx(y) sta a simboleggiare la probabilità che x <= y per ogni y reale
che cosa si intende per variabile aleatoria?Una variabile aleatoria è definita in uno spazio di probabilità. E' una variabile che può assumere diversi esiti con determinate probabilità. Un buon candidato per variabile aleatoria è la somma del lancio di due dadi, ha uno spazio degli eventi (1-36) e una algebra che assegna ad ogni evento una probabilità
che cosa è la funzione indicatrice?è una funzione che associa a un sottoinsieme di un insieme universale un valore binario (0 o 1). In altre parole, la funzione indicatrice ci dice se un elemento appartiene o meno a un certo sottoinsieme.
cosa significa X ~ F ?significa che la variabile aleatoria X è distribuita secondo la funzione di ripartizione F e questo significa conoscere molto della variabile aleatoria, come si vuole dimostrare prendendo l'elemento b...
che cosa è la funzione di massa di probabilità ?viene utilizzato con variabili aleatorie DISCRETE e descrive la probabilità dell'evento che si verifica quando la variabile aleatoria assume il valore y F : R -> [0,1] pari a: Mx(y) = P(x = y)
quali sono le caratteristiche peculiari della funzione di ripartizione?- è sempre maggiore di 0 - il valore massimo che assume è 1 - è continua solo da destra
che cosa si intende per valore atteso di una variabile aleatoria?E' un indice di centralità o disposizione della variabile aleatoria. Si ottiene moltiplicando ciascun valore per la sua probabilità. Non cè nessuna conferma che il valore atteso di una variabile aleatoria converga
cosa rappresenta la varianza di una variabile aleatoria? con quale formula si calcola?la varianza di X indica quanto questa si discosta dal suo valore atteso
come viene definita la funzione di ripartizione congiunta? cosa succede se uno dei due valori tende ad infinito?data una coppia di variabili aleatorie E, F,viene definita come l'intersezione di due eventi portando uno dei due a inf. diventa la funzione di ripartizione dell'altro
come viene definita la funzione di massa congiunta?ci dice la probabilità che due variabili assumano contemporaneamente determinati valori. [QUINDI INTERSEZIONE] - se anche uno dei suoi valori non corrisponde allora risulta 0
come viene definita la funzione di ripartizione congiunta? cosa succede se una delle due variabili tende ad infinito?descrive la probabilità che due variabili aleatorie assumano valori inferiori o uguali a due valori specificati
dimostra che presi due eventi indipendenti, la funzione di ripartizione congiunta dei due sia uguale al prodotto delle singole funzioni di ripartizionesi basa sulla definizione di variabili aleatorie indipendenti:X e Y sono indipendenti se e solo se P(X∈A, Y∈B) = P(X ∈ A) x P(X∈B) se vale per la funzione di ripartizione allora vale anche per la funzione di massa, perciò dimostrando entrambi i versi:
come si generalizzano le funzioni di ripartizione congiunte e le funzioni di massa congiunte per n variabili?SE LE VARIABILI SONO INDIPENDENTI FRA DI LORO:
Cosa succede quando calcolo il valore atteso di una funzione di variabili aleatorie? nel caso si trattasse di una funzione che tratta più variabili ?se x è una variabile aleatoria allora lo sarà anche g(x) perciò il valore atteso sarà pari a quello di x calcolato nel punto g(x) nel caso di una funzione con più variabili, non cambia molto:
come è definita la covarianza di due variabili aleatorie? quali sono le sue proprietòdefinita come : Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y))) rispetta le proprietà di: - simmetria
a cosa equivale il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie?dimostrato con il teorema che : E( X Y ) = E(X) * E(Y)
come si calcola il coefficiente di correlazione? come mai lo si preferisce rispetto alla covarianza con le variabili aleatorie?nel caso si volesse misurare la covarianza del doppio di due variabili Cov(2X, 2Y), la covarianza intuitivamente dovrebbe rimanere invariata(perchè è la forza che correla) invece questa risulta uguale a 4 Cov(X,Y) per la proprietà.per questo si utilizza il coefficiente di correlazione che non soffre di dilatazioni per quanto riguarda la scalatura:
che cosa è la funzione di densità?fornisce l'informazione equivalente a : quanto è probabile che la v.a. assuma valore compreso in un intervallo? esempio di utilizzo:
perchè quando si parla di variabili aleatorie continue non ha senso parlare di un singolo evento?perchè matematicamente parlando si tratterebbe di trovare la seguente probabilità:P(X = a) = P(a &lt;= X &lt;= a)applicando la definizione di probabilità di variabile aleatoria (l'integrale): quindi la probabilità sarebbe sempre nulla di solito si tende a calcolare in un intorno di a
che cosa collega la funzione di densità ad una variabile aleatoria?ogni volta che una funzione ha R come dominio e R+ come codominio e integra a 1, allora deve esistere una variabile aleatoria continua che abbia quella funzione come densità (L14 1h05min)
che cosa stabilisce la disuguaglianza di Markov?VALIDA SOLO SE : X &gt;= 0, ∀a &gt; 0 dimostrazione per variabili continue:
che cosa stabilisce la disuguaglianza di Tchebjev?se di una v.a. conosco il suo valore atteso e la varianza, la probabilità che la distanza fra x e la media sia maggiore di un parametro r è :
che cosa mostra la funzione di ripartizione empirica? quale è il grafo migliore per rappresentarla?rappresenta le frequenze cumulate, il grafo migliore per rappresentarla è un grafico a scalini con statsmodel ECDF
dimostrare che : Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ).
Un aereo è scomparso e si suppone che possa essere caduto in una qualsiasi di tre regioni, con uguale probabilità. Per i = 1, 2, 3, siano αi le costanti che rappresentano la probabilità di non rinvenire il velivolo nella regione i-esima e 1 − αi la probabilità di rintracciare un velivolo che cada nella regione i-esima. Qual `e la probabilità che l’aereo si trovi in ciascuna delle tre regioni se una ricerca della regione 1 ha dato esito negativo?Denotiamo con Ri l’evento ”il velivolo si trova nella regione i-esima” e sia E l’evento ”la ricerca nella regione 1 non ha successo”, dunque
dati tre eventi A B e C definisci la funzione indicatrice tale che sia 1 ogni qual volta due di questi eventi abbia esito positivosol:
calcolare il valore atteso di un dado a 6 faccesol:
Un’urna contiene 3 palline contrassegnate dai numeri {1,2,3}. Si estrae con riposizione un campione di ampiezza 2. Sia Y la variabile casuale che esprime la media aritmetica dei numeri riportati sulle palline estratte. Calcolare il valore atteso di Y .esempio 5 p 40 del riassunto calcolare le possibili combinazioni, calcolare il valore atteso sol: 2
dimostrare che il valore atteso della somma di due variabili è uguale alla somma dei valori attesidimostrazione:
a cosa equivale : V ar(X + Y )? e in generale a cosa equivale la varianza di una sommatoria?considerazione 4.14.1: in generale:
data la v.a. definita da: quanto vale c? Quanto vale P(X &gt; 1)1) 2)
variabile aleatoria X [distribuzione non nota !] che rappresenta il numero di pezzi prodotti in una settimana, con un E(X) = 50, Var(X) = 25. quale è la probabilità che il numero di pezzi prodotti sia compreso fra 40 e 60?p53 es 1 trovare il modo di applicare il teorema di Chebychev. in particolare il complementare
dato E(X) = lambda Var(X) = lambda Y = aX - b quanto equivale : E(Y) Var(Y)bisogna sapere le proprietà: